Geometrický objekt, neskôr nazývaný „Kleinova fľaša“, bol prvýkrát opísaný v roku 1882 nemeckým matematikom Felixom Kleinom. Čo predstavuje? Tento objekt (alebo skôr geometrický alebo topologický povrch) jednoducho nemôže existovať v našom trojrozmernom svete. Všetky modely, ktoré sú na predaj v obchodoch so suvenírmi, majú vzhľad, ktorý poskytuje len hmlistú predstavu o tom, čo je Klein fľaša.
Pre väčšiu prehľadnosť je to popísané takto: predstavte si fľašu s veľmi dlhým hrdlom. Potom v nej urobte dve diery: jednu v stene a druhú v spodnej časti. Potom ohnite krk, vložte ho do otvoru v stene a vyveďte ho cez otvor v spodnej časti. Výsledný objekt bude projekciou štvorrozmerného vesmírneho objektu, ktorý je skutočnou Kleinovou fľašou, v našom trojrozmernom priestore.
Popis Kleinovej fľaše v jazyku matematických výrazov respvzorce laikovi nič nepovedia. Uspokojí takáto definícia mnoho ľudí: Kleinova fľaša je neorientovateľné potrubie (alebo povrch), ktoré má množstvo vlastností. Za slovom „vlastnosti“môžete zostaviť dlhý rad pozostávajúci z goniometrických funkcií, čísel a gréckych a latinských písmen. To však môže zmiasť len nepripraveného človeka, ktorý už má predstavu o tom, čo je projekcia fľaše v trojrozmernom priestore.
Zaujímavosť: názov „Klein bottle“dostal tento objekt s najväčšou pravdepodobnosťou pre chybu alebo typografickú chybu prekladateľa. Faktom je, že Klein vo svojej definícii použil slovo Fläche, teda „povrch“v nemčine. Pri „cestovaní“z Nemecka do iných krajín sa toto slovo zmenilo na podobný pravopis Flasche (fľaša). Potom sa výraz vrátil do krajiny pôvodu v novej, upravenej podobe a zostal tak navždy.
Pre mnohých kultúrnych osobností (predovšetkým spisovateľov sci-fi) sa samotný pojem „Kleinova fľaša“ukázal byť atraktívnym. Jeho použitie ako atribútu a niekedy aj hlavnej postavy sa stalo znakom „intelektuálnej“fikcie. Takým je napríklad príbeh „Posledný iluzionista“, ktorý napísal Bruce Eliot. V príbehu kúzelníkov asistent zaútočí na svojho patróna, ktorý robil triky so štvorrozmernou Kleinovou fľašou. Iluzionista, ktorý vliezol do fľaše, zostáva v nej napoly ponorený. Podľa autora sa táto fľaša nedá rozbiť bez poškodenia obsahu. Je to naozaj tak - nemôžem povedaťžiadny. Prinajmenšom matematici, ktorí by snáď mohli na túto otázku odpovedať, z toho neboli zmätení, pre vedu je to irelevantné.
Niekedy sa špeciálne vyrobené fľaše Klein plnia vínom na propagačné účely. Je pravda, že vyrobiť takúto sklenenú fľašu je technicky náročné, vyžaduje si to fúkač skla extra triedy. Preto má pomerne vysoké náklady a používa sa zriedka. A vývoj technológie a výroba takýchto fliaš na prúde nedáva zmysel, pretože na to bude potrebné vypracovať spôsob plnenia fľaše kvapalinou (aj tu existujú ťažkosti). A pocit nevšednosti a novosti rýchlo vystrieda nepohodlie s nalievaním vína z takejto fľaše do pohárov.
